Catégorie : Mathématique

Le jeu de la vie de Conway

John Conway est un brillant mathématicien qui a travaillé sur un concept qui s’appelle le jeu de la vie. C’est un concept avec un raisonnement un peu particulier, consistant à créer des entités complexes évoluant à partir d’entités simples, cultivées dans un environnement régi par un nombre restreint de règles très simples. Ce jeu a permis après en mathématique, la création ce qu’on appelle les Automates Cellulaires. Mais très récemment, ça a beaucoup évolué et ça a abouti à un nouveau domaine scientifique nommé Artificial Life (ou ALife), consistant à créer de la vie artificielle, et potentiellement intelligente, dans un environnement virtuel contrôlé par des lois et des règles artificielles et des stimulus. La plus récente percée est sans doute le projet Lenia.

Le jeu de la vie par John Conway

Sur les 2 vidéos de l’excellente chaîne Youtube Numberphile, on peut voir l’explication du jeu de la vie, par Conway. Il explique entre autres, comment le jeu s’exécute, l’historique de son évolution, et les différentes études mathématiques effectuées sur ce jeu. Dans ce genre de système, Il est fascinant de voir comment avec des automatismes et des règles si simples, on peut créer des entités relativement évoluées et indépendantes. Et surtout, ça ouvre la porte sur un nombre de créations infini. Mais le principal problème pour ces systèmes, c’est qu’il est très difficile de contrôler ce processus de création. L’évolution dans ce genre de système est tellement complexe qu’il est très difficile de prédire le résultat après un nombre élevé d’itérations. Le plus important c’est d’arriver à créer des systèmes stable dans le temps.

L’invention du jeu de la vie par Conway

La question naturelle qui se pose pour un informaticien est de savoir s’il est possible de recréer un système informatique en utilisant ces automates. Et s’il est possible de les recréer physiquement, en électronique ou sur une autre technologie d’information. John Conway a déjà évoqué dans les vidéos qu’il est possible de créer des configurations pour le calcul. Ça reste à savoir s’il serait possible de recréer n’importe quel système informatique complet. Peut-être en réussissant à recréer l’une des Portes Universelles (ou même les Transistors), avec la possibilité de faire transmettre l’information, il serait possible de construire des processeurs et des composants hardwares avec des caractéristiques nouvelles et différentes. 

La complexité d’un algorithme

Pour concevoir des logiciels bien optimisés, il est souvent nécessaire de pouvoir distinguer les algorithmes optimaux des algorithmes trop gourmands en ressources. D’où l’entrée en jeu de l’étude de la complexité d’un algorithme, qui devient primordiale pour reconnaître son optimalité dans le monde réel. En d’autres mots, ça permet de prédire le comportement d’un algorithme avec un nombre très élevé de données.

Pour avoir une compréhension de c’est quoi la complexité d’un algorithme, appelez aussi le grand-O (Big-O en anglais), on va imaginer un exemple simple, supposons qu’un algorithme nécessite une seconde pour calculer 10 données, sa complexité est monotone (O(n)) s’il lui faudrait 10 secondes pour finir 100 données. Par contre si c’est un algorithme optimal il lui faudrait moins de temps. Ou inversement si c’est un algorithme gourmand il lui faudrait plus. La complexité permet plus ou moins de prédire ce temps. 

Notion du Big-O (par www.geeksforgeeks.org)

À vrai dire, l’étude de la complexité est une méthode mathématique relativement difficile à appréhender à première vue. La principale raison est que cette méthode ne ressemble à aucun domaine mathématique vu auparavant dans le cursus de l’étudiant. On peut grossièrement la qualifier comme un point d’intersection entre le calcul arithmétique et le calcul des limites dans l’analyse mathématique. D’une part, malgré que le but de la méthode soit le calcul du temps nécessaire pour l’exécution en rapport avec les données exercées sur l’algorithme, elle ne va pas faire un calcul arithmétique exacte de ce temps comme on avait vu sur l’exemple, mais elle va plutôt nous fournir une approximation. Et d’autre part la méthode tend à évaluer le temps pour un nombre très grand de données, et s’appuyer sur des procédés mathématiques qui sont similaires au calcul des limites, comme par exemple négliger les fonctions les moins rapides (comme par exemple : 2X2 + 4X +1 tend vers X2). Mais en même temps, ce n’est pas un calcul de limite. La complexité va réellement nous retourner une fonction parmi les fonctions illustrées sur le graphe en haut. Cette fonction va nous donner une estimation de la rapidité en complexité de l’algorithme en rapport avec le nombre de données. La vidéo en bas de la chaîne YouTube du site web éducatif www.freecodecamp.org illustre cette notion de complexité sous format d’un cours de courte durée pour appréhender plus ou moins cette notion du Big-O. 

Cours sur la complexité d’algorithme

La théorie des graphes en informatique

Pour dire vrai, la vie d’un informaticien se résume en grande partie au processus sans cesse de résolution de problèmes. Des problèmes de type de pratique, technique, qui concerne généralement la technologie. Trop souvent les outils mathématiques formels et précis sont souvent utilisés dans ce processus de résolution. Dans cet article on va parler d’un modèle mathématique très connus par les informaticiens, à savoir les graphes. Les graphes appartiennent aux mathématiques dites discrètes. On peut les définir d’une manière simpliste comme un ensemble de sommets ou de nœuds, interreliés par des liens souvent appelés arêtes. Avec ce modèle simple on peut modéliser énormément de systèmes réels, comme par exemple les réseaux routiers, les réseaux informatiques, les groupes d’amis dans les réseaux sociaux…etc. Le principal avantage de la modélisation avec les graphes c’est qu’ils possèdent énormément de théorème, de postulat, et de formule que l’informaticien peut exploiter pour améliorer, corriger, ou vérifier son système. Par exemple l’un des plus célèbres théorèmes sur les graphes est le théorème de coloration. C’est un théorème ancien de 2 siècles qui stipule que quel que soit un graphe, il suffit de 4 couleurs pour colorier tous les nœuds du graphe avec une couleur différente pour chaque pair de nœuds voisins. Ce théorème a été récemment prouvé mathématiquement correct, et il est très utilisé en cartographie comme preuve qu’on peut colorier tous les états sur une carte géographique avec seulement 4 couleurs avec des couleurs différentes pour tous les états voisins.

Théorie des graphes

La vidéo haut est celle de la chaîne YouTube Zach Star, c’est une très bonne chaîne que je conseille aux étudiants. La vidéo n’est pas spécifique aux graphes en particulier mais elle en traite quand même une bonne partie. C’est une vidéo qui traite en général le raisonnement mathématique utiliser en informatique. 

Motifs géométriques de l’architecture islamique

Concernant notre culture arabo-musulmane, on peut dire que nos ancêtres avaient vraiment excellé dans deux domaines artistiques particuliers, qui sont les motifs géométriques utilisés dans la décoration architecturale, et l’art de la calligraphie arabe. Ça m’a toujours fasciné de connaître comment ces motifs géométriques qui semblent à première vue complexes, étaient façonnés. La chaîne Youtube de TEDEd donne quelques techniques basiques utilisées géométriquement pour créer ces motifs. Le procédé est assez simple mais le résultat est majestueux. La première pensée qui m’est venu après avoir vu cette vidéo était de créer un petit programme qui peut générer automatiquement avec peu de configuration ce genre de motif. Ça doit probablement exister, mais personnellement je n’ai jamais croisé un programme qui peut réaliser cette tâche. À mon sens ça présage un fort potentiel et des possibilités infinies. Ça pourrait même faire le sujet d’un projet pour étudiants, avec probablement la bibliothèque graphique C++ RayLib.

Géométrie des motifs islamiques

La constante d’Euler

Il existe des constantes en mathématiques qui sont très connues, que tout étudiant a eu plusieurs fois dans son cursus l’opportunité de les utiliser. Personnellement, pour moi les trois constantes les plus communes sont, Pi, e et i, je pense que beaucoup de monde vont s’accorder pour dire que parmi ces trois constantes, c’est celle d’Euler (e) qui est la moins intuitive à comprendre et qu’elle est le plus souvent acquise sans compréhension exacte de son sens analytique, et mainte fois utilisée dans les formules mathématiques d’une manière disons machinale.

La constante d’Euler

La vidéo en haut de la chaîne YouTube Numberphile, essaye tant bien que mal, d’expliquer la nature de la constante d’Euler, parce que ce n’est pas facile, et elle n’est pas clairement discernable comparée aux autres constantes. Grossièrement parlant, la constante e a un rapport avec le taux de croissance de l’intérêt à travers le temps, par exemple, si vous gagnez disons 5% par jour, la croissance de votre fonds à travers le temps a un rapport avec la constante e, vous pouvez aussi trouver sur google des démonstrations analytique plus aboutis. Le plus marquant historiquement, c’est que cette constante était découverte par trois mathématiciens qui sont très connus académiquement, Bernoulli, Euler et Gauss, c’était pour eux une découverte lors d’un processus d’exploration mathématique.

100 intégrales en vidéo

Ça faisait longtemps que je n’ai pas mentionné de vidéo sur le professeur avec le pseudonyme BlackPenRedPen, c’est un enseignant de mathématique qui adore faire des vidéos de mathématique sur la résolution de séries d’exercices sur des problèmes en algèbre et en analyse, cette fois-ci c’est les intégrales. Moi personnellement j’adore, malgré que se sont des connaissances très lointaines pour moi, et que j’ai rarement besoin de les utiliser actuellement. Par contre pour les étudiants, et surtout en première et deuxième années, c’est une mine d’or dans laquelle je vous conseille d’en profiter au maximum. Bon visionnage.

100 intégrales en vidéo

Animations de trigonométrie

Les fonctions trigonométriques comme le sinus, le cosinus, la tangente…etc, sont des fonctions mathématiques géométriques très communes, très utilisées en ingénierie, en physique, en jeux vidéo, en architecture, dans l’aérospatial…etc, pour n’en citer que quelques-uns. Mais une compréhension approfondie des différents concepts et des sources et origines des fonctions trigonométriques procure un avantage considérable pour savoir les utiliser amplement avec plus de maîtrise dans la manière de les exploiter et de les pratiquer. La vidéo suivante est de la chaîne Numberphile, c’est une excellente vidéo comme il est de coutume venant de cette chaîne.

Animations en trigonométrie

Les animations faites dans cette vidéo ont étés réalisées par le logiciel Geogebra, personnellement je ne connaissais pas ce logiciel, mais apparemment à première vue il présente un grand potentiel éducatif, le terme Geogebra vient de la concaténation des deux mots geometry et algebra, c’est décrit comme un logiciel éducatif et interactif de mathématique qui permet de faire de l’algèbre, la géométrie, l’analyse et la statistique. Apparemment, ça couvre les niveaux scolaires du primaire jusqu’au universitaire, une version online est aussi disponible pour exécuter l’application sur le cloud, d’ailleurs l’exemple présenté sur la vidéo est interactivement accessible online sur ce lien.

Concours d’intégral dans l’université d’MIT

C’est bien connu, l’université d’MIT (Massachusetts Institute of Technology) est l’une des universités les plus prestigieuses au monde, cette université est beaucoup plus connue pour ses influences dans en technologie, notamment en informatique et en électronique, cependant notre vidéo pour cet article est axée sur une branche en mathématique analytique qui traite les intégrales. Ce n’est un pas un cours ni un domaine de recherche mais plutôt un concours entre étudiants généralement de premier cycle, pour la rapidité de résolution d’intégrales le plus souvent enseignées dans les cours d’analyse en première et deuxième année.

La finale de MIT Integration Bee

L’université d’MIT fait ce genre de concours depuis maintenant 40 ans, c’est appelé précisément Integration Bee et voici le lien des derniers concours en date. Je trouve personnellement que c’est très stimulant et très bénéfique pour les étudiants ce type de concours, ça leur permet d’aborder des concepts en mathématiques qui sont réputés très abstraits et difficiles, alors que la compétition prend les mathématiques d’un autre angle qui les rend beaucoup plus appréciables. De mémoire les étudiants à fin d’apprendre les intégrales devraient exercer sur des séries de plusieurs dizaines problèmes, à force de les résoudre ils acquirent de l’expérience et une certaine habilité pour trouver le bon acheminement d’étapes pour aboutir au résultat, ce qui à mon avis rend le procédé un excellent candidat pour la compétition.

Problème géométrique

Qu’est-ce qu’est plus stimulant pour le cerveau humain qu’un petit problème de géométrie. Généralement ce genre de problème en géométrie ne fait pas abondance dans le cursus Algérien selon mon observation, ainsi ça sera pour vous du nouveau, rafraîchissant et 100% de l’intelligence.

Problème en géométrie

Les fractales de Mandelbrot

En mathématiques, les fractales peuvent être grossièrement définis comme des formes géométrique qui se répètent à l’infinie en zoomant sur les bords de ces formes géométriques, vous pouvez voir une illustration sur l’image animée en bas. Le plus étonnant c’est que pour un non connaisseur des fractales il va supposer que ce sont des animations psychédéliques (envoûtantes) créées par un artiste quelconque, alors qu’en réalité ce sont des constructions purement mathématiques de création divine, cachées dans des formules mathématiques que les humains n’ont soupçonné l’existence qu’à partir de l’année 1978, sur une première image produite par le mathématicien Benoit Mandelbrot.

La vidéo en bas produite par l’excellente chaîne Youtube de mathématique Numberphile, fait la démonstration étape par étape d’une manière très simpliste la construction d’une image des fractales de Mandelbrot en passant par les fractales de Julia, qui sont comme vous allez le voir tous les deux très proches et très similaires. Effectivement, une image de Mandelbrot ou de Julia est formée sur la base d’une formule mathématique très simple, pour Julia c’est la suite Zn+1= Zn2+C où Z est une variable complexe et C une constante complexe, l’image produite indique pour chaque point/pixel (un point c’est la valeur de Z) sur le repaire en 2 dimensions des nombres complexes si la suite sur ce point converge (stable) ou diverge (instable, tends vers l’infinie). Pour l’image de Mandelbrot c’est exactement la même suite sauf que cette fois la valeur initiale de la suite est toujours 0 et c’est C qui change sur tous les points de l’image, si la suite converge le point est de couleur noir, sinon ce sont des nuances de couleurs en rapport avec la vitesse de divergence.

L’ensemble de Mandelbrot

Paradoxalement l’animation de zoom et les figures géométriques semblent très complexes, en réalité sa formule mathématique et sa programmation sur ordinateur sont très simples, et n’exige que peu d’efforts. Je vous donne le lien d’un logiciel déjà programmé, c’est le logiciel Xaos, il vous permet d’explorer par vous-même la cartographie de l’ensemble de Mandelbrot, que même jusqu’à ce jour beaucoup de mathématicien tentent de résoudre l’énigme de la formation de ces fractales.