Les fractales de Mandelbrot

En mathématiques, les fractales peuvent être grossièrement définis comme des formes géométrique qui se répètent à l’infinie en zoomant sur les bords de ces formes géométriques, vous pouvez voir une illustration sur l’image animée en bas. Le plus étonnant c’est que pour un non connaisseur des fractales il va supposer que ce sont des animations psychédéliques (envoûtantes) créées par un artiste quelconque, alors qu’en réalité ce sont des constructions purement mathématiques de création divine, cachées dans des formules mathématiques que les humains n’ont soupçonné l’existence qu’à partir de l’année 1978, sur une première image produite par le mathématicien Benoit Mandelbrot.

La vidéo en bas produite par l’excellente chaîne Youtube de mathématique Numberphile, fait la démonstration étape par étape d’une manière très simpliste la construction d’une image des fractales de Mandelbrot en passant par les fractales de Julia, qui sont comme vous allez le voir tous les deux très proches et très similaires. Effectivement, une image de Mandelbrot ou de Julia est formée sur la base d’une formule mathématique très simple, pour Julia c’est la suite Zn+1= Zn2+C où Z est une variable complexe et C une constante complexe, l’image produite indique pour chaque point/pixel (un point c’est la valeur de Z) sur le repaire en 2 dimensions des nombres complexes si la suite sur ce point converge (stable) ou diverge (instable, tends vers l’infinie). Pour l’image de Mandelbrot c’est exactement la même suite sauf que cette fois la valeur initiale de la suite est toujours 0 et c’est C qui change sur tous les points de l’image, si la suite converge le point est de couleur noir, sinon ce sont des nuances de couleurs en rapport avec la vitesse de divergence.

L’ensemble de Mandelbrot

Paradoxalement l’animation de zoom et les figures géométriques semblent très complexes, en réalité sa formule mathématique et sa programmation sur ordinateur sont très simples, et n’exige que peu d’efforts. Je vous donne le lien d’un logiciel déjà programmé, c’est le logiciel Xaos, il vous permet d’explorer par vous-même la cartographie de l’ensemble de Mandelbrot, que même jusqu’à ce jour beaucoup de mathématicien tentent de résoudre l’énigme de la formation de ces fractales.

Calcul géométrique de la multiplication et la racine carré

Il est étonnant aujourd’hui que la racine carrée est facilement calculée en utilisant la calculatrice ou d’autres appareils électroniques sophistiqués, mais serait-il possible pour quelqu’un de la calculer manuellement sans utiliser de machine, pour les informaticiens il existe les méthodes dites numériques permettant de la calculer avec des opérations simples comme l’addition, la soustraction, la multiplication, et la division. Il existe aussi d’autres méthodes mathématiques pour approximer sa valeur (voir wikipédia), néanmoins j’ai été étonné par la simplicité de la méthode géométrique démontrée dans la vidéo suivante, datant de l’époque de la Grèce antique la méthode est extrêmement facile ainsi que sa démonstration géométrique. La vidéo aussi présente une autre méthode aussi géométrique et simple pour calculer la multiplication.

Calcul géométrique de la racine carrée

Effets d’illusion générés mathématiquement

Comment générer mathématiquement ou géométriquement et facilement des effets d’illusion très impressionnants, la vidéo qui suit est produite par une chaîne Youtube de mathématique très célèbre, c’est la chaîne Numberphile que je vous la conseille énormément, c’est pratiquement actuellement la chaîne mathématique qu’a le plus grand nombre d’abonnés sur Youtube. Sur la vidéo le mathématicien Japonais Tadashi Tokieda démontre avec des dessins simples à base de petits points et quelques transformations géométriques la réalisation de superbes effets d’illusion. Dans la pratique, les mêmes effets peuvent être reproduits par des logiciels de retouche et de synthèse d’image, comme Photoshop, Gimp ou Inkscape, ou reproduits en temps réel sur des moteur de jeux vidéo pour des les effets graphique du jeu.

Effets visuels en mathématique

Solutions à 100 séries numériques

Appendre les séries mathématiques numériques (lien sur Wikipédia) dans les premières années universitaires est un passage obligé pour les étudiants techniques en général et les étudiants en informatique en particulier. Ça permet spécifiquement aux informaticiens et aux machines informatiques d’utiliser les séries comme des fonctions génératrices, pour calculer les fonctions dites non numériques, comme par exemple le cosinus, le sinus, la tangente, le logarithme, l’exponentielle…etc, qui ne sont pas décrites numériquement en utilisant le plus, le moins, la multiplication, la division…etc, donc a priori la machine ne peut pas les calculer. C’est là que les séries numériques entrent en jeu, elles permettent de générer des fonctions pour le calcul des fonctions non numériques, on peut voir la formule en bas par exemple la fonction cosinus, sinus, cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique sous format de série numérique.

Formes numériques de quelques fonctions trigonométriques

La vidéo suivante montre un enseignant entrain de faire en live sur une période de 6 heurs d’affilée la solution de l’étude de la convergence de 100 séries à la suite et sans s’arrêter. L’étude de la convergence d’une série est très importante, ça permet de dire si la série est potentiellement une fonction génératrice si elle converge. C’est bonne méthode d’apprendre et de réviser pour les examens.

Soluces 100 séries numériques non stop

Démonstration du Théorème de Pythagore

Démonstration en vidéo du Théorème de Pythagore.

Nul doute que le théorème de Pythagore est l’un des plus connu théorème en géométrie, On l’a tous pratiquement appris en CEM, à l’age de 13-14 ans, et quasiment tous le monde le connait. Mais qui peut démonter que le théorème est correct et frictionne correctement dans toutes circonstances. Moi personnellement j’ai essayé de chercher une démonstration à l’époque où j’étais lycien mais je n’ai pas réussi. Voici la vidéo d’un prof sympathique faisant la démonstration pour ses étudiants. Notez l’équation (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 comment c’est géométriquement représentée.

Démonstration du Théorème de Pythagore