En mathématiques, les fractales peuvent être grossièrement définis comme des formes géométrique qui se répètent à l’infinie en zoomant sur les bords de ces formes géométriques, vous pouvez voir une illustration sur l’image animée en bas. Le plus étonnant c’est que pour un non connaisseur des fractales il va supposer que ce sont des animations psychédéliques (envoûtantes) créées par un artiste quelconque, alors qu’en réalité ce sont des constructions purement mathématiques de création divine, cachées dans des formules mathématiques que les humains n’ont soupçonné l’existence qu’à partir de l’année 1978, sur une première image produite par le mathématicien Benoit Mandelbrot.
La vidéo en bas produite par l’excellente chaîne Youtube de mathématique Numberphile, fait la démonstration étape par étape d’une manière très simpliste la construction d’une image des fractales de Mandelbrot en passant par les fractales de Julia, qui sont comme vous allez le voir tous les deux très proches et très similaires. Effectivement, une image de Mandelbrot ou de Julia est formée sur la base d’une formule mathématique très simple, pour Julia c’est la suite Zn+1= Zn2+C où Z est une variable complexe et C une constante complexe, l’image produite indique pour chaque point/pixel (un point c’est la valeur de Z) sur le repaire en 2 dimensions des nombres complexes si la suite sur ce point converge (stable) ou diverge (instable, tends vers l’infinie). Pour l’image de Mandelbrot c’est exactement la même suite sauf que cette fois la valeur initiale de la suite est toujours 0 et c’est C qui change sur tous les points de l’image, si la suite converge le point est de couleur noir, sinon ce sont des nuances de couleurs en rapport avec la vitesse de divergence.
Paradoxalement l’animation de zoom et les figures géométriques semblent très complexes, en réalité sa formule mathématique et sa programmation sur ordinateur sont très simples, et n’exige que peu d’efforts. Je vous donne le lien d’un logiciel déjà programmé, c’est le logiciel Xaos, il vous permet d’explorer par vous-même la cartographie de l’ensemble de Mandelbrot, que même jusqu’à ce jour beaucoup de mathématicien tentent de résoudre l’énigme de la formation de ces fractales.